|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Oplossingsverzameling wortelfuncties
Ik wil graag weten hoe je de algemene oplossing van een 3e-ordevergelijking bepaalt:
6Xt-7Xt-1+Xt-3=1
Antwoord
Hoi,
We moeten dus een oplossing bepalen voor 6.x(t)-7.x(t-1)+x(t-3)=1 (1) met gegeven x(0), x(1) en x(2).
Eerst proberen we die constante term kwijt te raken. We proberen x(t) te schrijven als y(t)+z(t) waarbij z(t) een veelterm is (met reële coëfficiënten).
We hebben dan 6.x(t)-7.x(t-1)+x(t-3)-1= 6.y(t)-7.y(t-1)+y(t-3)+ 6.z(t)-7.z(t-1)+z(t-3)-1=0.
We proberen nu z(t) te bepalen zodat 6.z(t)-7.z(t-1)+z(t-3)-1=0 voor alle t. Voor z(t)=a vinden we geen oplossing, voor z(t)=at+b vinden we dat a=1/4 en b willekeurig kan voldoen. We nemen dus z(t)=t/4. (Te veralgemenen : er bestaat een z(t) wanneer het rechterlid van de diffvgl (1) een veelterm is in t)
We hebben dus : x(t)=y(t)+t/4 waarbij y(t) de oplossing is van y(t)=7/6.y(t-1)+1/6.y(t-3).
Met Y(t)=[y(t), y(t-1), y(t-2)] en A=[[7/6,0,1/6][1,0,0][0,1,0]] krijgen we dus de matixvergelijking : Y(t)=A.Y(t-1)=At.Y(0).
We moeten dus een uitdrukking vinden voor At. Voor sommige matrices kan dit makkelijk via de eigenwaarden ontbinding. (Je zoekt hier best eens op als je dit niet kent)
Je krijgt zo een gesloten uitdrukking voor y(t) van de vorm c1. (l1)t+c2. (l2)t+ c3. (l3)t. De l zijn de (verschillende) eigenwaarden. Als je meervoudige eigenwaarden hebt, kan het iets anders zijn. Dit moet je eens opzoeken (op het internet of in een goed boek hierover).
Zo krijg je dan ook een algemene uitdrukking voor x(t).
Groetjes,
Johan
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
